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矩阵运算速查

线性代数基础 Linear Algebra

1. 矩阵和向量 Matrices and Vectors

矩阵(Matrix)尺寸:行 x 列。 \(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ]\) 为 3×2 矩阵。

向量(Vector):尺寸为 n×1 的矩阵。

标量(Scalar):单一值。

2. 加法和标量乘法

加法矩阵尺寸必须一致,矩阵中各个位置对应相加。

\[ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] + \left[ \begin{matrix} u & v \\ w & x \\ y & z \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} a+u & b+v \\ c+w & d+x \\ e+y & f+z \end{matrix} \right ] \]

标量乘法,矩阵中的值一一计算即可。

\[ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] \times x= \left[ \begin{matrix} ax & bx \\ cx & dx \\ ex & fx \end{matrix} \right ] \]

3. 矩阵和向量乘法

矩阵和向量的乘法必须满足:\(A_{m \times n} * B_{n \times o} = C_{m \times o}\)

即:A 的列数必须等于 B 的行数。结果 C 的行数等于 A 的行数,C 的列数等于 B 的列数。

\[ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] \times \left[ \begin{matrix} w & x \\ y & z \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} aw+by & ax+bz \\ cw+dy & cx+dz \\ ew+fy & ex+fz \end{matrix} \right ] \]

!!! 矩阵乘法不符合交换律:\(A \times B \ne B \times A\)

!!! 符合结合律:\(\left ( A \times B \right ) \times C = A \times \left ( B \times C \right )\)

如果符合:\(A \times I = I \times A = A\)\(I\) 为单位矩阵(identity matrix)

\[ \left[ \begin{matrix} 1 \end{matrix} \right ] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ] \]

4. 翻转和置换 Inverse and Transpose

逆矩阵:不是所有矩阵都存在逆矩阵。\(A\)的逆矩阵记为 \(A^{-1}\)

\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]

置换:\(A\)的置换矩阵记为 \(A^{T}\)

\[ A = \left[ \begin{matrix} a & b \ c & d \ e & f \end{matrix} \right ] \quad A^{T} = \left[ \begin{matrix} a & c & e \ b & d & f \end{matrix} \right ] \]

创建日期: 2021-01-11 17:00:00
最后更新: 2022-07-30 02:00:00

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