矩阵运算速查¶
线性代数基础 Linear Algebra¶
1. 矩阵和向量 Matrices and Vectors¶
矩阵(Matrix)尺寸:行 x 列。 \(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ]\) 为 3×2 矩阵。
向量(Vector):尺寸为 n×1 的矩阵。
标量(Scalar):单一值。
2. 加法和标量乘法¶
加法矩阵尺寸必须一致,矩阵中各个位置对应相加。
\[
\left[ \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
e & f
\end{matrix} \right ]
+
\left[ \begin{matrix}
u & v \\
w & x \\
y & z
\end{matrix} \right ]
=
\left[ \begin{matrix}
a+u & b+v \\
c+w & d+x \\
e+y & f+z
\end{matrix} \right ]
\]
标量乘法,矩阵中的值一一计算即可。
\[
\left[ \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
e & f
\end{matrix} \right ]
\times
x=
\left[ \begin{matrix}
ax & bx \\
cx & dx \\
ex & fx
\end{matrix} \right ]
\]
3. 矩阵和向量乘法¶
矩阵和向量的乘法必须满足:\(A_{m \times n} * B_{n \times o} = C_{m \times o}\)
即:A 的列数必须等于 B 的行数。结果 C 的行数等于 A 的行数,C 的列数等于 B 的列数。
\[
\left[ \begin{matrix}
a & b \\
c & d \\
e & f
\end{matrix} \right ]
\times
\left[ \begin{matrix}
w & x \\
y & z
\end{matrix} \right ]
=
\left[ \begin{matrix}
aw+by & ax+bz \\
cw+dy & cx+dz \\
ew+fy & ex+fz
\end{matrix} \right ]
\]
!!! 矩阵乘法不符合交换律:\(A \times B \ne B \times A\)
!!! 符合结合律:\(\left ( A \times B \right ) \times C = A \times \left ( B \times C \right )\)
如果符合:\(A \times I = I \times A = A\) 则 \(I\) 为单位矩阵(identity matrix)
\[
\left[ \begin{matrix}
1
\end{matrix} \right ]
\quad
\left[ \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right ]
\quad
\left[ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{matrix} \right ]
\]
4. 翻转和置换 Inverse and Transpose¶
逆矩阵:不是所有矩阵都存在逆矩阵。\(A\)的逆矩阵记为 \(A^{-1}\)。
\[
AA^{-1} = A^{-1}A = I
\]
置换:\(A\)的置换矩阵记为 \(A^{T}\) 。
\[
A = \left[ \begin{matrix}
a & b \
c & d \
e & f
\end{matrix} \right ]
\quad
A^{T} = \left[ \begin{matrix}
a & c & e \
b & d & f
\end{matrix} \right ]
\]
创建日期:
2021-01-11 17:00:00
最后更新: 2022-07-30 02:00:00
最后更新: 2022-07-30 02:00:00